Límites y continuidad de Funciones

Introducción

El concepto de límite es necesario para comprender todo el «Análisis», palabra con la que englobamos –entre otros aspectos– el estudio de las funciones reales. En él se basan los conceptos que se estudian en esta unidad y las siguientes como son la continuidad y la derivada de una función.

También son un recurso muy relevante para mejorar el estudio de las gráficas de las funciones para determinar sus asíntotas y sus ramas infinitas.

La idea intuitiva de límite no es sencilla ya que tiene todo que ver con la idea de infinito. La idea de acercarse de forma indefinida a algún número, sin llegar nuca a dicho número, o la de hacer «cada vez mayor (o menor) la variable independiente» llevándola hacia +∞ o -∞ no son conceptos fáciles de materializar y debemos proceder con cuidado pues «propiedades» que damos por sentadas suelen dejar de cumplirse cuando trabajamos con «el infinito».

La idea de límite de una función en un punto es el «lugar» hacia el que se dirige el valor de la función cuando la variable independiente \((x)\) se aproxima al punto determinado.

Si tenemos una función \(f(x)=x^2-3\) y nos acercamos cada vez más, con la variable independiente, \(x\), a un número como el 2, lo cual indicamos como:

\[\lim_{x→2}(x^2-3)\]

lo que buscamos es determinar el valor al que la función se dirige cuando llevamos la variable \(x\) hacia el número 2. Para ver que ocurre, lo mejor es hacer una tabla.

En la tabla podemos apreciar como la función de está dirigiendo hacia el número 1, cuando acercamos la variable al número 2.

Decimos entonces que

\[\lim_{x \rightarrow 2} (x^2 - 3) = 1\] Lo verdaderamente interesante de todo esto es poder disponer de los métodos adecuados para poder calcular estos límites de funciones sin tener que recurrir a realizar tablas de valores, tablas que pueden no dar una información determinante sobre el límite que intentamos calcular.

Vídeo Explicativo (I)

Definición de límite

Las expresiones que se utilizan habitualmente para referirse al límite de una función, expresiones tales como tiende a o se aproxima cada vez más a no son lo precisas que deberían para poder considerarlas como definición matemática del concepto de límite.

Para establecer una definición precisa de este concepto es preciso conocer los llamados entornos de un punto.

Definición (Entorno de un punto)

Un entorno de centro \(a\) y radio \(r\), denotado por \(E (a, r)\), es el intervalo centrado en \(a\) \((a - r, a + r)\). Esta formado por todos los números reales, \(x\), que están a una distancia de \(a\) {} que \(r\), \(E (a, r) = \{ x \in \mathbb{R}; | x - a | < r \}\).

Los entornos los vamos a utilizar para tomar números tan cerca de otro como queramos.

La definición de límite utiliza estos entornos para precisar exactamente lo que es el límite de una función en un punto. Dicha definición dada de forma más coloquial diría: el límite de una función en un punto es un número, de forma que tomando cualquier entorno de dicho límite podamos encontrar un entorno del* número, de forma que cuando los valores de la variable independiente estén en este entorno, los valores de la función estén dentro del otro.

Matemáticamente:

Definición (límite de una función en un punto)

Una función \(f (x)\) tiene por límite el número \(L\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\), y se representa por \[ \lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = L \] si para todo entorno \(E (L, \varepsilon)\) existe un entorno de \(x_0\), \(E (x_0, \delta)\), de modo que para todo \(x\) perteneciente al entorno \(E (x_0, \delta)\) se cumple que \(f (x)\) pertenece al entorno \(E (L, \varepsilon)\)

Una vez que asimilamos esta definición, podemos entender que al acercarnos cada vez más a un número podemos hacerlo considerando por separados ambos lados de este número, así aparecen los llamados límites laterales.

Límites Laterales

Cuando hacemos un límite de una función en un punto, lo hacemos dando valores a la variable independiente, a un lado y otro del punto. En muchas ocasiones precisamos de conocer el límite dando estos valores solo a uno u otro lado de dicho punto, estos son los llamados límites laterales.

Límite lateral por la derecha

Cuando damos valores a la variable independiente mayores que el punto al que nos aproximamos, decimos que damos valores a la derecha, en este caso estamos haciendo el límite lateral por la derecha y lo indicamos escribiendo un signo más en el punto al que nos estamos acercando.

\[\lim_{x \rightarrow a^+} f (x)\]

Límite lateral por la izquierda

Cuando damos valores a la variable independiente menores que el punto al que nos aproximamos, decimos que damos valores a la izquierda, en este caso estamos haciendo el límite lateral por la izquierda y lo indicamos escribiendo un signo menos en el punto al que nos estamos acercando.

\[\lim_{x \rightarrow a^-} f (x)\]

Para que una función \(f(x)\) tenga límite en \(x=a\) es necesario y suficiente que existan los límites laterales en dicho punto y que ambos sean iguales.

Video Explicativo (III)

Propiedades de los límites

Si existe, el límite es único

Esta propiedad es bastante evidente, el límite de una función puede no existir, pero no puede ser que haya dos límites de una función en el mismo punto ya que esto llevaría a una contradicción en los valores de la función.

Operaciones con límites

Es muy frecuente que las expresiones de las funciones sean complejas pero que éstas sean el resultado de operaciones con funciones más sencillas. En el momento de calcular límites es preciso poder descomponer éstos en otros más sencillos de calcular.

Límite de una suma (resta) de funciones

El límite de una suma (resta) de dos funciones, es igual a la suma (resta) de los límites de las funciones (siempre que la operación entre estos límites esté definida y dichos límites existan).

\[\lim_{x \rightarrow a} (f (x) \pm g (x)) = \lim_{x \rightarrow a} f (x) \pm \lim_{x \rightarrow a} g (x)\]

Límite del producto de dos funciones

El límite del producto de dos funciones, es igual al producto de los límites de las funciones (siempre que la operación entre estos límites esté definida y dichos límites existan).

\[\lim_{x \rightarrow a} (f (x) \cdot g (x)) = \lim_{x \rightarrow a} f (x) \cdot \lim_{x \rightarrow a} g (x)\]

Límite de un cociente de funciones

El límite del cociente de dos funciones, es igual al cociente de los límites de las funciones (siempre que la operación entre estos límites esté definida, dichos límites existan y que \(\lim_{x \rightarrow a} g (x) = M \neq 0\)).

\[\lim_{x \rightarrow a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow a} f (x)}{\lim_{x \rightarrow a} g (x)} \text{ si } \lim_{x \rightarrow a} g (x) = M \neq 0\]

Límite de una potencia de funciones

El límite de una potencia de funciones, es igual, en general, a la potencia de los límites de las funciones implicadas.

\[\lim_{x \rightarrow a} (f (x)^{g (x)}) = \lim_{x \rightarrow a} f (x)^{\lim_{x \rightarrow a} g (x)}\]

Más adelante estudiaremos casos particulares de este tipo de límites, como cuando el límite de la base sea 1, el exponente tienda hacia infinito.

Un caso particular es el caso en el que la función exponente sea una constante.

\[\lim_{x \rightarrow a} (f (x)^K) = (\lim_{x \rightarrow a} f (x))^K\]

Y dentro de éste tenemos también:

\[\lim_{x \rightarrow x_0} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow x_0} f (x)}\]

ya que los radicales son potencias de exponente fraccionario.

Todas estas propiedades de límites en un punto \((x→x_0)\), son totalmente validas para los límites en el infinito \((x→±∞)\).

En el cálculo de límites, es necesario operar frecuentemente con expresiones donde aparece infinito (más o menos), dentro de estas operaciones hay algunas con un resultado cierto, pero hay otras que son indeterminadas y es preciso conocerlas.

Estas son algunas de las expresiones cuyos resultados están determinados.

Es importante entender que cuando operamos con infinito las cosas no suelen ser como parecen, infinito (más o menos) no es un número, por lo tanto da lugar a diversos errores cuando se trabaja con él y se le trata como si fuera un número cualquiera.

Las siguientes operaciones con infinito son indeterminaciones, es decir, su resultado no está determinado, dicho de otra forma, su resultado puede ser cualquiera, un número, más infinito, menos infinito e incluso no existir.

Si al calcular un límite nos aparece alguna de las expresiones anteriores deberemos, tendremos que utilizar diversas estrategias para evitar estas operaciones indeterminadas.

Video Explicativo (II)

Tipos de Límites

Según el valor del punto al que acercamos la variable independiente los límites son:

1. Límites en un punto, cuando acercamos la variable independiente a un número real.
2. Límites en el infinito, cuando hacemos la variable independiente ir hacia más o menos infinito (±∞).

Según el valor del límite, en el caso de que exista.

1. Límites finitos, en el caso de que la función se aproxima a un número real cualquiera.
2. Límites infinitos, en el caso de que los valores de la función se «disparan» hacia más o menos infinito (±∞).

Como podemos observar se pueden presentar cuatro tipos de límites (cinco, si añadimos el caso de que el límite no existe).

Límites en el infinito

Dada una función \(y=f(x)\), si damos valores, cada vez más grandes \((x→+∞)\), o cada vez más negativos \((x→-∞)\) estamos preguntando por el comportamiento de la función (de sus valores) en el infinito.

Al igual que en el caso de límites en un punto, podremos realizar una tabla de valores para ver el valor de las imágenes para valores de x o muy grandes, o muy negativos. Esta forma de calcular estos límites no es siempre afortunada (como sucede también en el caso de los límites en un punto).

Límites infinitos en el infinito

Para realizar estos límites observaremos detenidamente la función, por ejemplo, si es una función polinómica los valores de la función irán tras el valor de su término de mayor grado.

\[ \begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow + \infty} (3 x^2 - 5 x + 6) & = & \lim_{x \rightarrow + \infty} (3 x^2) = + \infty \end{array} \]

En el ejemplo anterior vemos que solo nos interesa el término principal, \(3x^2\), y si a éste le damos valores cada vez más grandes al elevar al cuadrado y multiplicar por \(3\) obtendremos valores cada vez mayores, y concluimos que el límite es más infinito. ¿Qué sucedería hacia menos infinito?

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow - \infty} (3 x^2 - 5 x + 6) & = & \lim_{x \rightarrow - \infty} (3 x^2) = 3 \cdot (- \infty)^2 = 3 \cdot (+ \infty) = + \infty \end{array}\]

En este caso para ver la situación hacemos algo con lo que tenemos que llevar mucho cuidado, operaciones con el infinito, en este caso números muy negativos al cuadrado dan un resultado de números muy grandes y positivos que multiplicados por \(3\) siguen siendo muy grandes y por tanto el resultado de este límite también es más infinito.

Si dibujamos la gráfica de esta función:

vemos que, tanto si x va hacia más infinito o menos infinito (eje horizontal), los valores de la función son cada vez más grandes (eje vertical).

Límites finitos en el infinito

Al realizar límites de funciones en el infinito los valores de ésta pueden acercarse cada vez más a un número. En el siguiente ejemplo tenemos una función racional (cociente de dos polinomios), aplicando lo visto en ejemplos anteriores veremos que el límite es un número real.

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2 x^2 - x - 1}{x^2 - 1} & = & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2 \not{x^2}}{\not{x^2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty} 2 = 2 \end{array}\]

Podemos comprobar lo obtenido realizando una tabla de valores.

Como se puede observar los valores de la función se acercan cada vez más al número 2.

La gráfica de esta función ya nos hace ver el valor de su límite, tanto hacia más infinito como hacia menos infinito.

Límites Finitos

Los límites de funciones cuando la variable independiente la acercamos a un número real, son los llamados límites finitos. Estos límites incluyen a los límites laterales, ya vistos en un apartado anterior, a veces para obtener el límite debemos calcular estos límites laterales para obtener el resultado final.

Límites infinitos en un punto finito

Al realizar un límite en un punto, los valores de la función pueden ser cada vez mayores, o menores, camino de más o menos infinito, a veces siendo distintos los límites laterales (lo que implica la no existencia del propio límite).

Podemos ver esta situación al realizar los siguientes límites de las funciones \(f (x) = \frac{1}{x}\) o \(g (x) = \frac{1}{x^2}\) al hacer \(x→0\). El procedimiento habitual en el caso de los límites finitos es sustituir la variable en la función por el número al que nos acercamos, en esto límites no podemos ya que obtendríamos una división por 0, operación no definida. Entonces en estos casos debemos realizar los límites laterales ya que los valores de la función pueden cambiar al acercar los valores de \(x\) por uno u otro lado del número \(0\).

Vamos a realizar sendas tablas de valores para cada uno de estos casos.

Esta tabla de valores nos informa de que los límites laterales en este punto finito, existen pero son distintos (por la izquierda el valor es menos infinito y por la derecha más infinito), lo que implica que

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \text{ no existe.}\] Veamos que ocurre con la función \(g\). Hacemos la tabla de valores:

En el caso de esta función vemos que los límites laterales son infinitos y además iguales, por lo tanto

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} = + \infty\]

Las gráficas de estas funciones, observando sus valores en los alrededores del 0, ya nos indican lo que estamos confirmando con las tablas de valores.

Límites finitos en un punto finito

En esta situación los valores de la función se aproximan a un número real cuando acercamos la variable \(x\) a un número.

Veamos un ejemplo,

\[\lim_{x \rightarrow - 2} \frac{2 x^2 + 4}{1 - x} = \frac{2 \cdot (- 2)^2 + 4}{1 - (- 2)} = \frac{8 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4\]

en este ejemplo los valores de la función \(f (x) = \frac{2 x^2 + 4}{1 - x}\) se aproximan al número \(4\) cuando la variable se acerca cada vez más al número \(-2\). No se necesitan (como en ejemplos anteriores) los límites laterales en este punto para confirmar lo que ya nos dice el propio límite. La gráfica de la función confirma estos cálculos.

Video Explicativo (IV)

Cálculo de límites

Calcular un límite de una función puede ser muy sencillo o muy complicado dependiendo del tipo de límite que pretendamos calcular. Como hemos visto en el punto 1 (propiedades de los límites).

A estas propiedades, muy útiles para el cálculo de límites añadimos ahora una propiedad relacionada con la composición de funciones. El límite de una composición de funciones, es igual a la composición de los límites de las funciones, siempre que la función \(g\) sea continua en \(f(x)\), propiedad que expresamos así:

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow a} (g (f (x))) & = & g (\lim_{x \rightarrow a} f (x)) \text{ si } g \text{ es continua en } f (x) \end{array}\]

Usando, de forma conveniente, estas propiedades podemos calcular muchos límites, tanto finitos como infinitos.

Proceso de cálculo de límites

De forma general para calcular un límite sustituimos la variable por el valor al que tiende la variable independiente (sea un número o más o menos infinito), al realizar las operaciones, y teniendo en cuenta las operaciones con \(0\) y con \(∞\), obtendremos el valor de dicho límite o una expresión indeterminada. En este último caso, según la expresión obtenida tendremos que realizar las operaciones indicadas para «deshacer» dicha indeterminación. En las siguientes pestañas desarrollamos los procesos de actuación más habituales en el caso de presentarse las indeterminaciones, \(\infty - \infty\), \(0\cdot \infty\), \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) y \(1^{\infty}\)

\(\infty - \infty\)

Este tipo de indeterminación se pueden resolver haciendo operaciones con ambas funciones ya que esta indeterminación suele aparecer cuando calculamos límites a funciones del tipo \(f(x)-g(x)\).

Ejemplo

Calcular el límite,

\[\lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2} \right)\]

Si sustituimos \(x\) por \(2\) obtendremos \(\frac{1}{0} - \frac{1}{0} = \infty - \infty\). Entonces hacemos la operación indicada.

\[\begin{array}{lll} \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2} & = & \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{x + 2}{x^2 - 4} =\\ & = & \frac{1 - x - 2}{x^2 - 4} = \frac{- x - 1}{x^2 - 4} \end{array}\]

Volvemos a calcular el límite:

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2} \right) & = & \lim_{x \rightarrow 2} \frac{- x - 1}{x^2 - 4} = \frac{- 3}{0} \end{array}\]

Obtenemos nuevamente una indeterminación, este tipo de indeterminación la resolvemos usando los límites laterales.

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{- x - 1}{x^2 - 4} & = & \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{- x - 1}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 3}{0^-} = + \infty\\ \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{- x - 1}{x^2 - 4} & = & \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{- x - 1}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 3}{0^+} = - \infty \end{array}\]

Como los límites laterales son distintos el límite que pretendemos calcular no existe.

\(0 \cdot \infty\)

Esta indeterminación suele darse en funciones del tipo \(f(x)⋅g(x)\), donde al calcular el límite obtenemos que \(f(x)→0\) y \(g(x)→∞\). Suelen resolverse operando y simplificando.

Ejemplo

Calcular

\[\lim_{x \rightarrow 2} \left[ (x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x^2 - x - 2} \right) \right]\]

Sustituimos y obtenemos una indeterminación.

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow 2} \left[ (x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x^2 - x - 2} \right)\right] & = & 0 \cdot \frac{1}{0} = 0 \cdot \infty \end{array}\]

Lo que haremos es hacer operaciones y simplificar.

\[\begin{array}{lll} (x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x^2 - x - 2} \right) & = & \frac{x - 2}{x^2 - x - 2} = \frac{\not{(x - 2)}}{(x + 1) \not{(x - 2)}} = \frac{1}{x + 1} \end{array}\]

Volvemos a realizar el límite

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow 2} \left[ (x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x^2 - x - 2} \right)\right] & = & \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{3} \end{array}\]

\(\frac{0}{0}\)

Al realizar un límite que nos ofrece esta indeterminación en primera instancia observamos que esto se produce porque existen factores en el numerador y el denominador de la función que lo hacen cero y que tendremos que eliminar con algún procedimiento matemático. Para ello tendremos que factorizar polinomios, multiplicar y dividir por el conjugado, o cualquier otro método que nos permita eliminar esta indeterminación.

Ejemplo

Calcular

\[\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 2 x - 3}{x^2 + x - 2}\]

Sustituimos \(x\) por el número \(1\).

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 2 x - 3}{x^2 + x - 2} & = & \frac{1^2 - 2 \cdot 1 - 3}{1^2 + 1 - 2} = \frac{0}{0} \end{array}\]

Como las expresiones, en el numerador y el denominador de esta función son polinomios, factorizamos dichos polinomios.

\[\begin{array}{lll} x^2 - 2 x - 3 & = & (x + 3) \cdot (x - 1)\\ x^2 + x - 2 & = & (x + 2) \cdot (x - 1) \end{array}\]

y entonces

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 2 x - 3}{x^2 + x - 2} & = & \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x + 3) \cdot \not{(x - 1)}}{(x + 2) \cdot \not{(x - 1)}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x + 3)}{(x + 2)} = \frac{4}{3} \end{array}\]

También podemos encontrarnos con otros límites con expresiones distintas en las que tendremos que adoptar otra estrategia.

Ejemplo

Calcular

\[\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{6 + x} - 3}{x^2 - 9}\]

En este límite sustituimos, como siempre, \(x\) por \(3\) y obtenemos la indeterminación \(\frac{0}{0}\). En este caso la expresión del numerador es una expresión radical y en el denominador tenemos un polinomio. En estos casos vamos a multiplicar numerador y denominador por la expresión conjugada del radical y también factorizamos el polinomio del denominador.

\[x^2 - 9 = (x - 3) \cdot (x + 3)\]

Y entonces,

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{6 + x} - 3}{x^2 - 9} & = & \lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left( \sqrt{6 + x} - 3 \right) \cdot \left( \sqrt{6 + x} + 3 \right)}{(x - 3) \cdot (x + 3) \cdot \left( \sqrt{6 + x} + 3 \right)} =\\ & = & \lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left. \left( \sqrt{6 + x} \right)^2 - 3^2 \right)}{(x - 3) \cdot (x + 3) \cdot \left( \sqrt{6 + x} + 3 \right)} =\\ & = & \lim_{x \rightarrow 3} \frac{6 + x - 9}{(x - 3) \cdot (x + 3) \cdot \left( \sqrt{6 + x} + 3 \right)} =\\ & = & \lim_{x \rightarrow 3} \frac{\not{x - 3}}{\left( \not{x - 3} \right) \cdot (x + 3) \cdot \left( \sqrt{6 + x} + 3 \right)} =\\ & = & \lim_{x \rightarrow 3} \frac{1}{(x + 3) \cdot \left( \sqrt{6 + x} + 3 \right)} = \frac{1}{(3 + 3) \cdot \left( \sqrt{9} + 3 \right)} = \frac{1}{36} \end{array}\]

\(\frac{\infty}{\infty}\)

Aunque esta indeterminación puede presentarse en muchos casos, el más frecuente es el de funciones racionales (cociente de dos polinomios) y cuando llevamos la variable independiente hacia más o menos infinito.

Hablamos de límites del tipo:

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{P (x)}{Q (x)} & = & \frac{\infty}{\infty}\\ \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{P (x)}{Q (x)} & = & \frac{\infty}{\infty} \end{array}\]

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios.

Para resolver este tipo de indeterminación, es necesario comparar el grado de los polinomios del numerador y del denominador, pudiéndose presentar los siguientes casos:

• Si el grado de \(P(x)>\text{ grado de }Q(x)\) entonces \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{P (x)}{Q (x)} = \pm \infty\), será más o menos infinito en función del signo del cociente de los coeficientes principales y, en el caso de que \(x→-∞\) del grado de los términos principales.
• Si el grado de \(P(x)=\text{ grado de }Q(x)\) entonces \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{P (x)}{Q (x)} = k\), donde \(k\) es un número real que obtendremos del cociente de los coeficientes principales de los polinomios del numerador y del denominador.
• Si el grado de \(P(x)<\text{ grado de }Q(x)\) entonces \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{P (x)}{Q (x)} = 0\)

La motivación fundamental de estas reglas está en lo que llamamos orden de infinito y que, en el caso de los polinomios reside en el término principal de cada polinomio, de forma que, en este tipo de límites son los términos principales los que determinan el límite.

Ejemplo

Calcular los siguientes límites:

1. \(\lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{3 x^3 + 2 x - 3}{x^2 + 1}\)
2. \(\lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2 + 7}{4 x^3 + 2 x - 1}\)
3. \(\lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{8 x^2 + 2 x - 4}{x^2 + 5}\)

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{3 x^3 + 2 x - 3}{x^2 + 1} & = & \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{3 x^3}{x^2} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{3 x}{1} = + \infty\\ \lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2 + 7}{4 x^3 + 2 x - 1} & = & \lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2}{4 x^3} = \lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{1}{4 x} = 0\\ \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{8 x^2 + 2 x - 4}{x^2 + 5} & = & \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{8 x^2}{x^2} = \lim_{x \rightarrow + \infty} 8 = 8 \end{array}\]

\(1^{\infty}\)

Este tipo de indeterminación está relacionada con el número e y aplicamos, para resolver estas indeterminaciones que

\[\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \approx 2.718282\]

Si, al realizar un límite, nos aparece esta indeterminación será porque la función a la que estamos calculando dicho límite será del tipo \(f(x)^{g(x)}\) y entonces aplicaremos la siguiente fórmula:

Ejemplo

Calcular

\[\lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \frac{x + 1}{x - 2} \right)^{2 x^2 - 1}\]

Si hacemos el límite de la base (de la potencia) obtenemos \(1\), y si hacemos el límite del exponente obtenemos \(+∞\), estamos, por tanto, ante una indeterminación del tipo \(1^∞\), aplicamos la regla anterior.

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \frac{x + 1}{x - 2} \right)^{2 x^2 - 1} & = & e^{\lim_{x \rightarrow + \infty} (2 x^2 - 1) \left( \frac{x + 1}{x - 2} - 1 \right)} \end{array}\]

hacemos las operaciones indicadas:

\[\begin{array}{lll} (2 x^2 - 1) \left( \frac{x + 1}{x - 2} - 1 \right) & = & (2 x^2 - 1) \cdot \frac{3}{x - 2} =\\ & = & \frac{6 x^2 - 3}{x - 2} \end{array}\]

y entonces:

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{6 x^2 - 3}{x - 2} & = & + \infty \end{array}\]

entonces,

\[\begin{array}{lll} \lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \frac{x + 1}{x - 2} \right)^{2 x^2 - 1} & = & e^{\lim_{x \rightarrow + \infty} (2 x^2 - 1) \left( \frac{x + 1}{x - 2} - 1 \right)} =\\ & = & e^{+ \infty} = + \infty \end{array}\]

Continuidad de funciones

La idea intuitiva de una función continua podríamos describirla como la posibilidad de dibujar la gráfica de dicha función sin tener que levantar el lápiz del papel, si somos capaces de recorrer dicha gráfica con el dedo sin encontrar ninguna rotura. Pero la continuidad de una función se puede (y se debe), estudiar de forma más local, en un punto, en un intervalo o en todo su dominio de forma mucho más precisa.

Vamos a comenzar por la definición de continuidad de una función en un punto.

Una función \(y=f(x)\) es continua en el punto \(x=a\) si, y solo si, se cumplen las siguientes tres condiciones:

• Que dicho punto tenga imagen, es decir, que en \(x=a\), exista \(f(a)\).
• Que, en dicho punto, exista y sea finito el límite de la función, es decir que exista y sea finito el límite siguiente: \[\lim_{x \rightarrow a} f (x)\]
• Que coincidan los dos valores anteriores: \[\lim_{x \rightarrow a} f (x) = f (a)\]

Si se cumplen estas tres condiciones diremos que dicha función, \(f(x)\) es continua en \(x=a\).

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Para que una función sea continua en un intervalo abierto, la función debe ser continua en todos los puntos del intervalo.

Si lo fuera en todo su dominio, decimos que la función es continua.

Propiedades de la funciones continuas

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas serán siempre continuas en su dominio.

Por lo tanto, presentarán discontinuidades en aquellos puntos en los que no esté definida y, por lo tanto, no pertenezcan a su dominio.

Operaciones de funciones continuas

Si dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) son continuas en el punto \(x=a\), entonces podemos afirmar que:

• La suma, \(f(x)+g(x)\), es continua en \(x=a\).
• La multiplicación, \(f(x)⋅g(x)\), es continua en \(x=a\).
• El cociente, \(\dfrac{f (x)}{g (x)}\), es continua en \(x=a\), si \(g(a)≠0\).
• La composición, \(f(g(x))\), es continua en \(x=a\), si \(f\) es continua en \(g(a)\).

Tipos de discontinuidad

Si una función no es continua en un punto entonces es discontinua. Una discontinuidad puede ser debida a distintos comportamientos del límite en el punto, según este criterio tendremos distintos tipos de discontinuidad.

Las discontinuidades evitables, se llaman así porque se pueden «superar» mediante una redefinición de la función en dicho punto, bien por no estuviera definida, bien porque no coincida la imagen con los límites laterales, que existen, coinciden y son finitos.

Las discontinuidades inevitables vienen dadas porque:

• Los límites laterales, existen, son finitos y no coinciden (discontinuidad de salto finito), como si en dicho punto la gráfica de la función tuviera una falla. El salto es igual a la diferencia entre los límites laterales.
• Los límites laterales existen pero alguno (o ambos) es infinito (discontinuidad asintótica, o de salto infinito).
• Alguno de los límites laterales (o ambos) no existe (discontinuidad de segunda especie).

Teoremas sobre funciones continuas

Los siguientes teoremas obtienen diversas conclusiones importantes sobre funciones continuas.

Teorema. (de la conservación del signo)

Si una función \(y=f(x)\) es continua en \(x=a\) y \(f(a)≠0\), entonces existe un entorno de \(a\), en el cual la función tiene el mismo signo que \(f(a)\).

Teorema. (de la acotación)

Si una función \(y=f(x)\) es continua en \(x=a\), entonces existe un entorno de \(a\), en el cual la función esta acotada.

Teorema. (de Bolzano)

Si una función es continua en un intervalo cerrado \([a,b]\) y en los extremos del mismo (\(a\) y \(b\)) toma valores de signo contrario, entonces existe un punto \(c∈(a,b)\) en el cual \(f(c)=0\).

Teorema. (de Darboux)

Si una función \(y=f(x)\) es continua en un intervalo \([a,b]\) y d es un valor comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), entonces existe un punto \(c∈(a,b)\) de forma que \(f(c)=d\).

Teorema. (de Weierstrass)

Si una función \(y=f(x)\) es continua en un intervalo \([a,b]\) entonces alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo.